T.O.T 자료실

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제 목 도시대항 국제 수학토너먼트 (2010년 가을, 중등부 O-레벨)
작성자 관리자 등록날짜 2018-10-08 14:58:00 / 조회수 : 463
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  • 1. 피타고라스 곱셈표에서, 가로와 세로의 길이가 모두 홀수이고 두께가1인 한 직사각형 틀
    (즉, 두 직사각형 사이에 끼인 영역으로 액자의 테두리틀 형태를 생각하면 된다)이 표시되어 있다.
    이 틀의 각 칸을 체스판처럼 흑백으로 번갈아 칠했을 때, 흑칸의 수를 모두 합한 것과 백칸 의 수를 모두 합한 것은
    같음을 증명하여라.
    (피타고라스 곱셈표는 각각의 m, n에 대해, m번째 행, n번째 열의 칸에는 정수 mn이 들어있는 표를 말한다.
    구구단 곱셈표를 크게 확장했다고 생각하면 된다.) (4점)

    2. 한 원에 외접하는 등변사다리꼴이 있다. 둔각인 한 내각의 이등분선이 이 등변사다리꼴의 넓이를 이등분함을
    증명하여라. (4점)

    3. 한 정육면체 모양의 벽돌이 8 £ 8 체스판 위에 놓여있다.
    (밑면은 체스판의 한 칸에 정확히 맞붙어있고 크기도 한 칸에 꼭 맞다). 이 벽돌이
    자신의 모서리를 축으로 하여 구르며 이 체스판 위를 굴러다녀서 모든 칸을 한 번 이상씩 방문했다.
    그러는 동안 이 체스판과 한 번도 만나지 않은 면이 이 벽돌에 있을 수 있는가? (4점)

    4. 어떤 학교에서는, 90 %를 넘는 학생들이 영어와 독일어를 둘다 알고, 90 %를 넘는 학생들이 영어와 프랑스어를
    둘다 안다.  독일어와 프랑스어를 둘다 아는 학생들 중에서, 90 %를 넘는 학생들이 영어도 앎을 증명하여라. (4점)

    5. 한 원의 N개의 현의 끝점들이 원주를 2N개의 단위 길이의 호로 분할하고 있다.
    각각의 현이 이 원을 짝수 길이의 두 호로 나누고 있다면,N은 짝수임을 증명하여라. (4점)

    | 주의사항 |
    총 5문항이고, 가장 높은 점수를 얻은 세 문항의 점수만 합산되어 자신의 점수가 됩니다.
    답안은 한 장에 한 문제씩만 쓰시고, 가능하면 한 면만 사용하는데 만일 뒷면까지 써야 한다면 앞면 마지막에
    (뒷면 있음)이라고 쓰세요. 모든 답안지의 상단에 이름과 문항번호를 써야하고, 시험을 종료했으면
     [문제지, 1번, 2번, 3번, 4번, 5번]의 순서로 정돈하여 답안을 제출하세요. 풀지 않은 문제도 이름과 문항번호만
    쓴 빈 종이 상태로 제출해야 합니다.
    자와 컴퍼스, 단순한(프로그래밍이 불가능한) 계산기만 사용할 수 있습니다. 다른 전자기
    기(휴대폰 등)는 모두 전원을 끄세요. 다른 나라는 응시하는 시각이 다르므로, 시험이 끝나
    고 만 하루 동안은 인터넷 등에서 이번 시험문제에 대해 언급하면 절대 안 됩니다.
    제한시간 4시간.
    도시대항 국제 수학토너먼트 (2010년 가을, 고등부 O-레벨)
    1. 더블룬 동전을 피스톨 동전으로, 또 그 반대로도 교환해주는 자동 동전교환 기계가 있다.
    더블룬 동전은 피스톨 동전의 가치의 s배이다(s는정수가 아닐 수 있다).
    이 기계는 한 종류의 동전을 여러 개 넣으면 그에 맞는 가치로 반대 종류의 동전(들)을 내어준다.
    만일 돌려줄 동전의 개수가 정수개로 딱 떨어지지 않으면, 그 개수에 가장 가까운 정수로 반올림하여 내어준다.

    (a) 더블룬 몇 개를 갖고 있을 때 그것을 전부 피스톨로 교환했다가 다시 반대로 피스톨 전부를 더블룬으로
    교환했을 때, 처음에 갖고 있었던 것보다 더 많은 더블룬을 갖게 되는 게 가능한가? (2점)

    (b) 만일 그렇다면, 이 과정을 다시 반복하여 더블룬의 개수를 더 증가시키는 것이 가능한가? (3점)

    2. 볼록사각형 ABCD의 두 대각선이 점 O에서 서로 직교한다. 삼각형 AOB와 COD의 내접원의 반지름의 길이의
    합은 삼각형 BOC와 DOA의 내접원의 반지름의 길이의 합과 같다고 한다. 다음을 증명하여라.

    (a) ABCD는 원에 외접하는 사각형이다. (2점)
    (b) ABCD는 그 한 대각선에 대해 선대칭인 도형이다. (3점)

    3. 양방향으로 무한히 뻗은 직선 도로의 한 지점에 경찰서가 있다.
    한 도둑이 헌 경찰차를 훔쳤다. 이 차의 최고 속도는 새 경찰차의 최고 속도의 90 % 이다.
    얼마 후, 이 차가 없어진 것을 알게 되어, 한 경찰관이 새 경찰차를 타고 도둑을 쫓기 시작했다.
    그렇지만 그 경찰관은 그 차가 언제 도난당했는지와 도둑이 이 도로에서 어느 방향으로 달아났는지를 모른다는 것이 난관이다.

    이 경찰관이 반드시 도둑을 잡을 수 있는 방법이 있는가? (5점)

    4. n £ n 크기의 정사각형 판을 n ¡ 1개의 가로선과 n ¡ 1개의 세로선에 의해 n2개의 직사각형 칸들로 분할하였다
    (등간격이 아닐 수 있다).
    각칸을 체스판처럼 흑백으로 번갈아 색칠했더니, 한 대각선은 n개의 정사각형인 흑칸들만을 지나게 되었다.
    흑칸들의 넓이의 합은 백칸들의 넓이의 합보다 작지 않음을 증명하여라. (5점)

    5. 55명의 권투선수가 승자승 방식의 토너먼트대회에 참가하였다. 경기들은 동시에 벌어지는 법 없이 연이어 열린다.
    각각의 경기마다 그 경기의 두 참가자들이 그 전까지 거두었던 승수는 차이가 기껏해야 1이 었다고 한다.
    이 대회의 우승자가 뛴 경기의 수는 최대 몇 경기가 가능한가? (5점)

    | 주의사항 |
    총 5문항이고, 가장 높은 점수를 얻은 세 문항의 점수만 합산되어 자신의 점수가 됩니다. 한문항 안의 작은 문항들의 점수는
    그 문항의 점수로 합산됩니다.
    답안은 한 장에 한 문제씩만 쓰시고, 가능하면 한 면만 사용하는데 만일 뒷면까지 써야 한다면 앞면 마지막에 (뒷면 있음)
    이라고 쓰세요.
    모든 답안지의 상단에 이름과 문항번호를써야하고, 시험을 종료했으면
    [문제지, 1번, 2번, 3번, 4번, 5번]의 순서로 정돈하여 답안을 제출하세요.
    풀지 않은 문제도 이름과 문항번호만 쓴 빈 종이 상태로 제출해야 합니다.
    자와 컴퍼스, 단순한(프로그래밍이 불가능한) 계산기만 사용할 수 있습니다.
    다른 전자기기(휴대폰 등)는 모두 전원을 끄세요. 다른 나라는 응시하는 시각이 다르므로, 시험이 끝나고 만 하루 동안은 인터넷
    등에서 이번 시험문제에 대해 언급하면 절대 안 됩니다.

    제한시간 4시간.

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