T.O.T 자료실

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제 목 도시대항 국제 수학토너먼트 (2010년 가을, 중등부 A-레벨)
작성자 관리자 등록날짜 2018-10-08 14:57:03 / 조회수 : 630
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  • 1. 평면에 한 직선과 둥근 동전 하나가 주어져있다. 다음의 두 가지 조작이 허용된다:
    (1) 한 점을 골라, 이 점이 동전의 둘레 위에 놓이도록 동전을 적당히 놓은 후 그 동전의 둘레를 따라 원을 그린다.
    (2) (동전의 지름의 길이보다 서로 가까운) 두 점을 골라, 이 두 점이 동전의 둘레 위에 놓이도록 동전을 놓은 후
    그 동전의 둘레를 따라 원을 그린다.
     다음을 만족하는 두 점을 작도하여라: 이 두 점을 이은 직선은 주어진 직선에 수직이다.
    동전을 직선에 접하도록 놓는 조작은 허용된 것이 아님에 유의하여라.  (4점)

    2. 피트는 임의의 선분이 주어지면 그 선분을 1 : 1 또는 n : n+1 의 비로 분할하는 점(n은 어떤 자연수든 가능하다)을 잡을 수 있다.
    이 조작만으로, 원하는 어떤 유리수비가 주어져도, 임의의 선분을 그 비로 분할할 수 있다고 피트는 주장한다.
    피트는 옳은가?  (5점)


    3. 원형의 트랙 위의 한 지점에서, 10명의 싸이클 선수가 동시에 같은 방향으로 출발했다.
    각자의 속도는 서로 다르지만 각자는 일정한 속도로 달린다. 어떤 두 선수가 동시에 같은 지점을 지나면,
    우리는 그 둘이 서로 만난다고 말한다. 정오까지, 모든 두 선수가 서로 한 번 이상 만났고, 세 명 이상이 동시에 만난 순간은 없었다.
    각각의 선수는 정오까지 다른 선수들과 최소 25번씩 만났음을 증명하여라. (8점)


    4. 흑백이 번갈아 칠해진 한 직사각형 격자판이 2 × 1 크기의 도미노들로 분할되어있다.
    각각의 도미노마다 대각선을 하나씩 그려넣었더니, 서로 끝점에서 만나는 대각선이 하나도 없었다.
    이 직사각형의 네 코너 중 딱 두 곳이 이 대각선들의 끝점임을 증명하여라.  (8점)


    5. 한 오각형이 주어져있다. 각 변마다, 그 길이를 나머지 모든 변들의 길이의 합으로 나누자.
    그리고, 그렇게 얻은 분수들을 모두 더하자. 그럼 그 합은 2보다 작음을 증명하여라. (8점)


    6. 예각삼각형 ABC의 수선 BH 위에서 임의의 점 P 를 골랐다. 점 A'과 C'은 각각 변 BC와 AB의 중점이다.
    A'에서 CP에 그은 수선과 C'에서 AP에 그은 수선이 점 K에서 만난다. K에서 A와 C에 이르는 거리가 같음을 증명하여라.  (8점)


    7. 원형의 탁자에서, N명의 기사가 매일 회의를 갖는다.
    마법사 멀린이 그들을 매일 새로운 순서로 앉힌다. 두 번째 날부터는, 멀린은 회의가 진행되는 동안 기사들이
    다음의 방식으로 자리를 바꿔앉을 수 있도록 허용한다(하루에 여러 번 바꿔앉을 수도 있다): 두 기사가 이웃해있는데
    그 둘이 첫날에는 이웃해있지 않았다면 그 둘이 서로 자리를 바꿔앉을 수 있다. 기사들이 앞선 날들 중에 이미 잠깐이라도
     발생했던 순서로 다시 앉게 되면 회의는 그 날짜로 종료된다. 회의가 종료되지 않고 계속될 것으로 멀린이 확신할 수 있는
    최대의 날짜는 며칠 동안인가?
    (원탁을 적당히 돌려서 일치하는 두 가지의 자리 배치는 같은 순서의 배치로 간주한다. 멀린은 원탁에 앉지 않는다.) (12점)

     


    * 주의사항 *
    총 7문항, 제한시간 5시간이며, 가장 높은 점수를 얻은 세 문항의 점수만 합산되어 자신의 점수가 됩니다.
    답안은 한 장에 한 문제씩만 쓰시고, 가능하면 한 면만 사용하는데 만일 뒷면까지 써야 한다면
    앞면 마지막에 (뒷면 있음)이라고 쓰세요. 모든 답안지의 상단에 이름과 문항번호를 써야합니다
    (문제 내용을 베껴쓸 필요는 없습니다). 시험을 종료했으면 문제지도 답안과 함께 제출하되, 문제지에도 이름을 쓰고
    풀지 못한 문항의 번호 앞에 `X' 표시를 하세요.

    도시대항 국제 수학토너먼트 (2010년 가을, 고등부 A-레벨)
    1. 어떤 나라에 100개의 도시가 있다(평면에 주어진 점들로 생각한다). 한 안내서에 각각의 두 도시 사이의 거리(직선거리)가
    모두 기록되어 있다(즉, 총 4950가지의 기록이 있다).
    (a) 한 기록이 책에서 지워졌다. 나머지 기록들로 지워진 기록을 항상 복구할 수 있는가? (2점)
    (b) 어떤 k개의 기록이 책에서 지워졌고, 이 나라의 어떤 세 도시도 한 직선 위에 있지 않다고 한다.
    나머지 기록들로 지워진 기록들을 항상 복구할 수 있음을 확신할 수 있는 k의 최대값은 얼마인가? (3점)

    2. 원형의 트랙 위의 한 지점에서, 2N명의 싸이클 선수가 동시에 같은 방향으로 출발했다. 각자의 속도는 서로 다르지만
    각자는 일정한 속도로 달린다. 어떤 두 선수가 동시에 같은 지점을 지나면, 우리는 그 둘이 서로 만난다고 말한다.
    정오까지, 모든 두 선수가 서로 한 번 이상 만났고, 세 명 이상이 동시에 만난 순간은 없었다. 각각의 선수는 정오까지
    다른 선수들과 최소 N2번씩 만났음을 증명하여라. (6점)


    3. 한 다각형이 주어져있다. 각 변마다, 그 길이를 나머지 모든 변들의 길이의 합으로 나누자.
    그리고, 그렇게 얻은 분수들을 모두 더하자. 그럼 그 합은 2보다 작음을 증명하여라. (6점)


    4. 두 명의 마법사가 대결을 벌이고 있다. 그들은 먼저 고도 100으로 바다 위를 날아올랐다.
     그리고는 번갈아서 주문을 내뱉는데, 각각의 주문은 “나의 고도를 a만큼 줄이고 상대의 고도를 b만큼 줄여라”
    하는 의미이다(a와 b는 0 < a < b 인 실수이고, 주문마다 달라질 수 있다). 두 마법사가 사용할 수 있는 주문들의
    종류의 집합(S라 하자)은 같고, 주문들은 순서나 횟수에 제한 없이 어느 때고 마음대로 사용할 수 있다.
    해수면에 대해 자신의 고도가 양의 값이고 상대의 고도는 그렇지 않게 되면 그 마법사가 이기게 된다.

    (a) (먼저 주문을 시작하는 마법사가 어떻게 하느냐에 상관없이) 나중에 주문을 시작하는 마법사가 항상 이길 수 있게 되는,
    그런 유한집합 S가 존재하는가? (2점)
    (b) S가 무한집합일 때는 위 질문의 결과가 어떻게 되는가? (5점)


    5. 중심이 O인 원에 사각형 ABCD가 내접하는데, 이 사각형의 대각선들은 O를 지나지 않는다.
    삼각형 AOC의 외심이 직선 BD 위에 있을 때, 삼각형 BOD의 외심도 직선 AC 위에 있음을 증명하여라. (8점)


    6. 각 칸마다 0 또는 1이 적혀있는 1000 × 1000 크기의 표가 있다. 990개의 행을 잘 골라 제거하여 각각의 열마다 1이 적어도
    하나씩은 남아있도록 할 수 있거나, 990개의 열을 잘 골라 제거하여 각각의 행마다 0이 적어도 하나씩은 남아있도록 할 수 있음을
     증명하여라. (12점)

    7. 정사각형 ABCD가 정수 길이의 변을 갖는 합동인 직사각형들로 분할되어있다.
    대각선 AC와 교점을 갖는 직사각형들의 집합을 도형 F 라 하자. AC가 F 의 넓이를 이등분함을 증명하여라. (14점)

     

     

     

    * 주의사항 *
    총 7문항, 제한시간 5시간이며, 가장 높은 점수를 얻은 세 문항의 점수만 합산되어 자신의 점수가 됩니다.
    한 문항 안의 작은 문항들의 점수는 그 문항의 점수로 합산됩니다.
    답안은 한 장에 한 문제씩만 쓰시고, 가능하면 한 면만 사용하는데 만일 뒷면까지 써야 한다면 앞면 마지막에
    (뒷면 있음)이라고 쓰세요. 모든 답안지의 상단에 이름과 문항번호를 써야합니다(문제 내용을 베껴쓸 필요는 없습니다).
     시험을 종료했으면 문제지도 답안과 함께 제출하되, 문제지에도 이름을 쓰고 풀지 못한 문항의 번호 앞에 `X' 표시를 하세요.

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